Иван Нестерович Киреев родился 10 января 1910 года в селе Жердевка (ныне город) Тамбовской области в семье рабочего.
До призыва в Красную армию в 1930 году жил и работал в Петергофе Ленинградской области. В 1940 году окончил курсы пехотных командиров, затем курсы усовершенствования командного состава Ленинградского военного округа.
В боях Великой Отечественной войны Иван Киреев принимал участие с первых её дней.
И уже к сентябрю 1943 года гвардии подполковник Киреев командовал 61-м гвардейским стрелковым полком 19-й гвардейской стрелковой дивизии 5-го гвардейского стрелкового корпуса 39-й армии Калининского фронта.
Он пользовался большим и заслуженным авторитетом среди солдат и офицеров. Командование высоко ценило Киреева, блестяще характеризовало этого офицера. Вот выдержки из документов, составленных в штабе дивизии:
«…Грамотный, культурный командир, бесстрашный и находчивый в бою, заражающий своей храбростью подчиненных офицеров и бойцов…», «…И. Н. Киреев всегда появлялся там, где создавалась обстановка, требующая решительных и продуманных действий, часто вступал в бой, вдохновляя воинов на подвиги…».
Киреев сражался с ненавистными захватчиками в Белоруссии, на полях Смоленщины, под Москвой. Участвовал в первом зимнем контрнаступлении. Он не был в боях лишь тогда, когда вражеский металл выводил его из строя и укладывал в госпиталь.
Только за первый год войны Иван Киреев был четырежды ранен: в августе и октябре 41-го, когда дрались, сдерживая фашистов; в январе и апреле 42-го, когда сражались, наступая. Воин выдержал экзамен на прочность, о чём свидетельствуют два ордена Красного Знамени, заслуженные им в боях с гитлеровцами в те первые и самые тяжелые годы.
Всё, что о подполковнике Кирееве сказано в военных документах, со всей полнотой и силой проявилось в боях при освобождении Великолукского района Псковской области.
В июле 1943 года противника выбили с высоты в районе села Птахино, имевшей большое тактическое значение. Полку, которым командовал Киреев, поставили задачу её удержать, в то время когда враг при наличии больших огневых средств и живой силы стремился вернуть высоту обратно. В течение 12-ти дней полк подвергался ураганному огню. Сила огня на небольшой площади была настолько плотна, что выход из блиндажей, где находился Иван Нестерович, несколько раз заваливало землёй. Но всё-таки противнику, потерявшему до двух тысяч солдат и офицеров, много техники, пришлось прекратить атаки.
Во время Смоленской наступательной операции 14 сентября 1943 года полк Киреева прорвал немецкую оборону под Духовщиной и переправился через реку Царевич, захватив плацдарм на её западном берегу, благодаря чему дивизия беспрепятственно продолжила наступление.
А уже 24 сентября полк, следуя в авангарде дивизии, вышел у деревни Плаи на подступы к городу Рудня. Противник в этом районе занял гряду высот и встретил наступающих мощным огнём. Наступление приостановилось.
Командир дивизии генерал Маслов приказал подполковнику Ивану Кирееву прорвать оборону противника и овладеть высотами. Задание не из лёгких. Батальоны поредели в боях, пополнение ещё не прибыло, часть боевой техники отстала — застряла где-то на разбитых и раскисших от дождей проселочных дорогах.
А враг не дремлет, времени даром не теряет. Используя Рудню как узел железной и шоссейных дорог, подбрасывает подкрепления. Его сопротивление возрастает с каждым днём. Гитлеровцев надо было сбивать с высот, и как можно быстрее, пока они не успели там основательно закрепиться.
Наступление на высоты сначала развивалось строго по плану, разработанному командиром полка. Всё это предвещало успех. Но вот гитлеровцы, подтянув резервы, неожиданно пошли крупными силами в контратаку. Уже по разрозненным выстрелам, доносившимся до командного пункта с переднего края, подполковник понял: в ротах — замешательство и они вряд ли выдержат натиск врага. Киреев энергичной командой навёл в подразделениях порядок и сам лёг за станковый пулемет. Выждал, когда цепи приблизятся на верную дистанцию, и только тогда открыл уничтожающий огонь.
Появление командира полка воодушевило бойцов. Они отбиваются от наседающих врагов гранатами, стреляют из винтовок и автоматов. Подполковник опустошает диск за диском, выбивает из цепей целые звенья. И враг не выдержал плотного пулемётного, автоматного, винтовочного огня и отступил. Воспользовавшись этой паникой, Киреев поднял бойцов в атаку. Воодушевленные личным примером командира, они ворвались на плечах бегущих гитлеровцев на высоты и заняли их. Путь на Рудню, Витебск был открыт.
Во время этого боя подполковник Киреев пал смертью храбрых. Несколько дней спустя солдаты и офицеры 19-й гвардейской стрелковой дивизии, удостоенной за взятие Рудни почетного наименования Руднянской, провожали в последний путь Ивана Нестеровича Киреева. В освобожденном городе над могилой павшего героя трижды прогремели прощальные залпы.
Ивана Киреева похоронили недалеко от места гибели в деревне Заготино Руднянского района Смоленской области. После войны перезахоронен в городе Рудня, в братской могиле № 3.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июня 1944 года подполковнику Ивану Нестеровичу Кирееву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и двух орденов Красного Знамени посмертно.
Одна из главных улиц города Рудня, называвшаяся ранее Орловско-Рижской, затем Социалистической, сегодня носит имя командира гвардейского стрелкового полка подполковника Ивана Киреева. На здании Дома культуры города Рудня в честь Героя установлена мемориальная доска.
Имя земляка увековечено и в Жердевке — на гранитном пилоне рядом с мемориалом в память о погибших воинах в годы Великой Отечественной войны.